Définition
Suite
Une suite est une liste ordonnée de nombres réels ou complexes qui sont indexés par les entiers naturels.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme, à partir du deuxième, est égal au précédent augmenté d'un nombre fixe appelé la raison.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres telle que chaque terme, à partir du deuxième, est le produit du précédent par un nombre fixe appelé la raison.
Récurrence
Une relation de récurrence est une équation qui récurrence définit une suite, où chaque terme est une fonction de ses termes antérieurs.
Formule explicite
Une formule explicite pour une suite est une formule qui permet de calculer un terme quelconque de la suite directement en fonction de l'entier n.
Définir une suite arithmétique
Une suite arithmétique est généralement définie par une relation de récurrence de la forme :
un+1 = un + r, où r est la raison de la suite. Ainsi, chaque terme est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent.
Pour trouver la formule explicite, nous savons que l'on peut l'écrire sous la forme :
un = u0 + nr, où u0 est le premier terme de la suite et n le rang du terme.
Par exemple, pour une suite définie par u0 = 3 et r = 2, les premiers termes sont 3 (1er terme), 5 (2e terme), 7 (3e terme), etc. La formule explicite est alors un = 3 + 2n.
Définir une suite géométrique
Une suite géométrique est définie par une relation de récurrence du type :
un+1 = un * q, où q est la raison de la suite. Chaque terme est le produit du précédent par un nombre fixe.
Pour la formule explicite, elle s'écrit généralement :
un = u0 * qn.
Par exemple, pour une suite définie par u0 = 5 et q = 3, les premiers termes sont 5 (1er terme), 15 (2e terme), 45 (3e terme), etc. La formule explicite est alors un = 5 * 3n.
Récurrence versus formule explicite
Dans le cadre des suites, nous avons deux grandes méthodes pour exprimer les termes. La première est la relation de récurrence qui décrit comment les termes successifs s'obtiennent les uns à partir des autres. La seconde est la formule explicite qui permet de calculer directement n'importe quel terme sans qu'il soit nécessaire de calculer tous les termes précédents.
Utiliser une formule de récurrence peut être plus simple pour exprimer des suites de manière concise, surtout lorsque les relations entre les termes sont complexes. Cependant, la formule explicite est plus pratique pour calculer rapidement des termes particuliers.
A retenir :
Les suites arithmétiques et géométriques sont des exemples courants de suites qui peuvent être décrites à la fois par une relation de récurrence et une formule explicite. Une suite arithmétique a une raison constante ajoutée à chaque terme, tandis qu'une suite géométrique a une raison constante qui multiplie chaque terme. Les relations de récurrence décrivent comment construire chaque terme à partir du précédent, tandis que les formules explicites donnent le terme d'un rang quelconque directement en fonction de ce rang. L'utilisation de ces deux approches dépend du contexte et de la nécessité pratique de calculer les termes de la suite.
