Définition
Polynôme du second degré
Un polynôme du second degré est une expression mathématique de la forme ax² + bx + c où a, b et c sont des constantes et x est la variable.
Discriminant
Le discriminant d'un polynôme du second degré, noté Δ, se calcule par la formule Δ = b² - 4ac.
Racines
Les racines d'un polynôme du second degré sont les valeurs de x pour lesquelles le polynôme est égal à zéro.
Résolution d'une équation du second degré
Cas du discriminant positif
Lorsque le discriminant Δ est positif, l'équation ax² + bx + c = 0 admet deux racines réelles distinctes. Ces racines peuvent être calculées à l'aide des formules suivantes : x₁ = (-b + √Δ) / 2a et x₂ = (-b - √Δ) / 2a. Cela signifie qu'il existe deux solutions distinctes pour x.
Cas du discriminant nul
Lorsque le discriminant Δ est nul, l'équation ax² + bx + c = 0 n'a qu'une seule racine réelle, appelée racine double. Cette racine est donnée par la formule : x = -b / 2a. Cela signifie que la parabole touche l'axe des x en un seul point.
Cas du discriminant négatif
Lorsque le discriminant Δ est négatif, l'équation ax² + bx + c = 0 n'admet pas de racine réelle. Dans ce cas, le polynôme n'intersecte pas l'axe des x et les solutions de l'équation sont complexes.
Forme canonique d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré peut être exprimé sous sa forme canonique, qui est de la forme a(x -α)² + β, où (α, β) est le sommet de la parabole représentée par le polynôme. La forme canonique est particulièrement utile pour identifier le sommet de la parabole et pour facilement la tracer sur un graphique.
Parabole et sommet
Calcul du sommet
Le sommet d'une parabole peut être trouvé mathématiquement par les équations α = -b / 2a pour l'ordonnée, et β est la valeur du polynôme pour x = α (c'est-à-dire en remplaçant x par α dans ax² + bx + c).
Propriétés de la parabole
La parabole représentée par le polynôme du second degré ax² + bx + c a plusieurs propriétés importantes : elle est symétrique par rapport à la ligne verticale passant par son sommet, son orientation dépend du signe de a (ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0), et elle peut avoir zéro, une ou deux intersections avec l'axe des x en fonction du signe du discriminant.
A retenir :
Un polynôme du second degré est une fonction quadratique où x est la variable. La résolution de l'équation dépend du signe du discriminant : positif pour deux racines réelles distinctes, nul pour une racine réelle double, négatif pour aucune racine réelle. La forme canonique du polynôme facilite l'étude des caractéristiques de la parabole, telles que le sommet et l'orientation. Comprendre ces concepts permet de résoudre équations, d'analyser graphiquement, et d'appliquer ce savoir à divers problèmes mathématiques.
