Le taux de variation est un outil fondamental en mathématiques, utilisé pour évaluer comment une quantité change par rapport à une autre. Dans le contexte d’une fonction, il permet de déterminer comment la valeur d'une fonction change sur un certain intervalle. Ce concept est souvent appliqué pour calculer des croissances ou des décroissances en économie, en sciences physiques, et autres domaines. Par exemple, si l'on considère une fonction de coût C(x) qui décrit le coût de production x articles, le taux de variation permet d'analyser comment le coût change avec la production.

Le calcul du nombre dérivé est crucial pour comprendre la notion de dérivabilité et de continuité. La méthode consiste à calculer la limite du taux de variation lorsque la différence entre les deux points tend vers zéro. En termes pratiques, cela revient à calculer la pente de la tangente à la courbe au point a. Le nombre dérivé est utilisé pour trouver des maxima et minima locaux, analyser des courbes et résoudre de nombreux problèmes en physique et ingénierie liés au taux de variation instantanée, comme la vitesse ou l'accélération.

La tangente à une courbe à un point donné est une droite qui 'touche' la courbe sans la couper à cet endroit. Géométriquement, la tangente approche localement la courbe et indique la direction dans laquelle la courbe avance. En mathématiques, la tangente a plusieurs applications : elle est utilisée dans les développements de Taylor, dans la résolution graphique de systèmes non linéaires, et elle est également essentielle dans la visualisation et la compréhension du comportement d'une fonction aux points critiques.