Définition
Matrice
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, symboles ou expressions, organisé en lignes et colonnes.
Déterminant
Le déterminant est une valeur scalaire qui peut être calculée à partir d'une matrice carrée et qui résume certaines propriétés de la matrice.
Matrice carrée
Une matrice est dite carrée si elle a le même nombre de lignes et de colonnes.
Operations sur les matrices
Addition et soustraction de matrices
Deux matrices peuvent être ajoutées ou soustraites si elles ont les mêmes dimensions. On effectue l'addition ou la soustraction en ajoutant ou soustrayant les éléments correspondants de chaque matrice.
Multiplication de matrices
La multiplication de matrices est une opération qui prend deux matrices, disons A et B, et produit une nouvelle matrice C. Pour que cette multiplication soit définie, le nombre de colonnes de la matrice A doit être égal au nombre de lignes de la matrice B. Le produit matrice C a le même nombre de lignes que la matrice A et le même nombre de colonnes que la matrice B.
Propriétés des opérations matricielles
Les opérations matricielles obéissent à des propriétés analogues à celles des nombres réels, comme l'associativité, la distributivité et l'existence d'une matrice identité, qui agit comme le '1' dans la multiplication.
Transposition de matrice
La transposition d'une matrice consiste à changer ses lignes en colonnes, c'est-à-dire que l'élément à la position (i, j) dans la matrice initiale se trouve à la position (j, i) dans la matrice transposée.
Déterminant et inverse d'une matrice
Calcul du déterminant
Le déterminant est une fonction qui associe un nombre réel ou complexe à certaines matrices carrées. Le calcul du déterminant peut être fait par plusieurs méthodes, notamment la méthode de Laplace ou la réduction en echelon.
Matrice Inverse
Une matrice carrée possède une matrice inverse si elle est inversible, c'est-à-dire si son déterminant est non nul. Cette matrice inverse, notée A^-1, vérifie l'égalité AA^-1 = A^-1A = I où I est la matrice identité.
Systèmes d'équations linéaires et matrices
Les matrices sont un outil puissant pour résoudre les systèmes d'équations linéaires. En exprimant le système sous forme matricielle, on peut utiliser l'inverse d'une matrice ou des méthodes de décomposition matricielle pour trouver la solution du système.
Applications des matrices
Les matrices sont utilisées dans divers domaines des mathématiques appliquées, y compris l'ingénierie, la physique, et l'économie. Elles servent à modéliser des systèmes, à analyser des données et à effectuer des transformations géométriques et des rotations en 3D, parmi bien d'autres utilisations.
A retenir :
En somme, le calcul matriciel est une branche essentielle des mathématiques employant des tableaux rectangulaires pour effectuer des opérations algébriques. Les matrices servent non seulement à effectuer des calculs complexes et à résoudre des systèmes d'équations linéaires, mais aussi à modéliser différents phénomènes dans des applications pratiques variées. Pour travailler efficacement avec les matrices, il est important de bien comprendre les opérations de base telles que l'addition, la soustraction, et surtout la multiplication de matrices, ainsi que les propriétés de la transposition, du déterminant et de l'inverse des matrices.
